Giả thuyết Catalan

Giả thuyết Catalan (hoặc định lý Mihăilescu) là định lý trong lý thuyết số được đặt giả thuyết bởi nhà toán học Eugène Charles Catalan trong 1844 và được chứng minh trong 2002 bởi Preda Mihăilescu của đại học Paderborn.^[1]^[2] Hai số 2³ và 3² là hai lũy thừa hoàn hảo có giá trị (8 và 9 tương ứng) liên tiếp.Định lý phát biểu rằng đây là trường hợp duy nhất của hai số lũy thừa hoàn hảo liên tiếp. Có nghĩa là

Giả thuyết Catalan — Nghiệm tự nhiên duy nhất của

x^{a}-y^{b}=1

với $a, b > 1$ , $x, y > 0$ là $x = 3$ , $a = 2$ , $y = 2$ , $b = 3$ .

Lịch sử

Lịch sử của bài toán bắt nguồn ít nhất từ Gersonides ngừoi đã chứng minh trường hợp đặc biệt trong 1343 khi (x, y) bị giới hạn bằng (2, 3) hoặc (3, 2). Bước tiến đầu tiên sau khi Catalan đưa ra giả thuyết là vào năm 1850 khi Victor-Amédée Lebesgue xét trường hợp b = 2.^[3]

Trong 1976, Robert Tijdeman áp dụng phương pháp Baker trong lý thuyết siêu việt để đặt ra các giới hạn cho a,b và dùng các kết quả giới hạn có sẵn cho x,y khi biết a, b để tìm ra chặn trên của x,y,a,b. Michel Langevin đã tính ra $\exp \exp \exp \exp 730\approx 10^{10^{10^{10^{317}}}}$ cho giới hạn trên,^[4] đưa giả thuyết Catalan về một lượng hữu hạn còn lại cần xét.

Giả thuyết Catalan đã được chứng minh bởi Preda Mihăilescu vào tháng 4 năm 2002. Bái chứng minh được xuất bản trong Journal für die reine und angewandte Mathematik, 2004. Bài chứng minh sử dụng chủ yếu các trường cyclotomic và các modun Galois. Một bài luận cho bài chứng minh được viết bởi Yuri Bilu trong Séminaire Bourbaki.^[5] Vào 2005, Mihăilescu xuất bản một bài chứng minh khác đơn giản hơn ^[6]

Tổng quát hóa

Hiện đang có giả thuyết rằng với mọi số nguyên dương n, chỉ có hữu hạn số cặp lũy thừa hoàn hảo có khoảng cách n. Danh sách bên dưới xét n ≤ 64 ,hiển thị các nghiệm lũy thừa hoàn hảo nhỏ hơn 10¹⁸, xem A076427 . Xem thêm A103953 cho nghiệm nhỏ nhất (> 0).

n	số nghiệm	số k sao cho k và k + n đều là lũy thừa hoàn hảo	n	số nghiệm	số k sao cho k và k + n đều là lũy thừa hoàn hảo
1	1	8	33	2	16, 256
2	1	25	34	0	none
3	2	1, 125	35	3	1, 289, 1296
4	3	4, 32, 121	36	2	64, 1728
5	2	4, 27	37	3	27, 324, 14348907
6	0	none	38	1	1331
7	5	1, 9, 25, 121, 32761	39	4	25, 361, 961, 10609
8	3	1, 8, 97336	40	4	9, 81, 216, 2704
9	4	16, 27, 216, 64000	41	3	8, 128, 400
10	1	2187	42	0	none
11	4	16, 25, 3125, 3364	43	1	441
12	2	4, 2197	44	3	81, 100, 125
13	3	36, 243, 4900	45	4	4, 36, 484, 9216
14	0	none	46	1	243
15	3	1, 49, 1295029	47	6	81, 169, 196, 529, 1681, 250000
16	3	9, 16, 128	48	4	1, 16, 121, 21904
17	7	8, 32, 64, 512, 79507, 140608, 143384152904	49	3	32, 576, 274576
18	3	9, 225, 343	50	0	none
19	5	8, 81, 125, 324, 503284356	51	2	49, 625
20	2	16, 196	52	1	144
21	2	4, 100	53	2	676, 24336
22	2	27, 2187	54	2	27, 289
23	4	4, 9, 121, 2025	55	3	9, 729, 175561
24	5	1, 8, 25, 1000, 542939080312	56	4	8, 25, 169, 5776
25	2	100, 144	57	3	64, 343, 784
26	3	1, 42849, 6436343	58	0	none
27	3	9, 169, 216	59	1	841
28	7	4, 8, 36, 100, 484, 50625, 131044	60	4	4, 196, 2515396, 2535525316
29	1	196	61	2	64, 900
30	1	6859	62	0	none
31	2	1, 225	63	4	1, 81, 961, 183250369
32	4	4, 32, 49, 7744	64	4	36, 64, 225, 512

Giả thuyết Pillai

Vấn đề mở trong toán học:

Có đúng rằng mỗi số nguyên dương chỉ xuất hiện hữu hạn lần là khoảng cách giữa hai lũy thừa hoàn hảo?

(các vấn đề mở khác trong toán học)

Giả thuyết Pillai xét đến khoảng cách tổng quát giữa hai số lũy thừa hoàn hảo (dãy số A001597 trong bảng OEIS): là bài toán mở được đưa ra bởi S. S. Pillai, người đặt ra giả thuyết rằng khoảng cách giữa các lũy thừa hoàn hảo tiến đến vô cùng. Ta có thể hiểu tương đương là mỗi số tự nhiên đều có thể biểu diễn thành khoảng cách giữa hai lũy thừa hoàn hảo nhưng chỉ có hữu hạn số lần biểu diễn như vậy.Thậm chí, tổng quát hơn trong 1931 Pillai đã đặt ra giả thuyết khi cố định A, B, C thì phương trình $Ax^{n}-By^{m}=C$ có hữu hạn số nghiệm (x, y, m, n) với (m, n) ≠ (2, 2). Pillai chứng minh rằng khoảng cách $|Ax^{n}-By^{m}|\gg x^{\lambda n}$ với bất kỳ λ nhỏ hơn 1, cách đều với m và n.^[7]

Giả thuyết tổng quát có thể được chứng minh từ giả thuyết abc.^[7]^[8]

Paul Erdős đặt ra giả thuyết rằng^{[cần dẫn nguồn]} dãy tăng dần $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ của lũy thừa hoàn hảo thỏa mãn $a_{n+1}-a_{n}>n^{c}$ với một số giá trị c và giá trị n đủ lớn.

Xem thêm

Chú thích

^ Weisstein, Eric W., Catalan's conjecture, MathWorld
^ Mihăilescu 2004
^ Victor-Amédée Lebesgue (1850), “Sur l'impossibilité, en nombres entiers, de l'équation x^m=y²+1”, Nouvelles annales de mathématiques, 1^re série, 9: 178–181
^ Ribenboim, Paulo (1979), 13 Lectures on Fermat's Last Theorem, Springer-Verlag, tr. 236, ISBN 0-387-90432-8, Zbl 0456.10006
^ Bilu, Yuri (2004), “Catalan's conjecture”, Séminaire Bourbaki vol. 2003/04 Exposés 909-923, Astérisque, 294, tr. 1–26
^ Mihăilescu 2005
^ ^a ^b Narkiewicz, Wladyslaw (2011), Rational Number Theory in the 20th Century: From PNT to FLT, Springer Monographs in Mathematics, Springer-Verlag, tr. 253–254, ISBN 978-0-857-29531-6
^ Schmidt, Wolfgang M. (1996), Diophantine approximations and Diophantine equations, Lecture Notes in Mathematics, 1467 (ấn bản thứ 2), Springer-Verlag, tr. 207, ISBN 3-540-54058-X, Zbl 0754.11020

Tham khảo

Bilu, Yuri (2004), “Catalan's conjecture (after Mihăilescu)”, Astérisque, 294: vii, 1–26, MR 2111637
Catalan, Eugene (1844), “Note extraite d'une lettre adressée à l'éditeur”, J. Reine Angew. Math. (bằng tiếng Pháp), 27: 192, doi:10.1515/crll.1844.27.192, MR 1578392
Cohen, Henri (2005). Démonstration de la conjecture de Catalan [A proof of the Catalan conjecture]. Théorie algorithmique des nombres et équations diophantiennes (bằng tiếng Pháp). Palaiseau: Éditions de l'École Polytechnique. tr. 1–83. ISBN 2-7302-1293-0. MR 0222434.
Metsänkylä, Tauno (2004), “Catalan's conjecture: another old Diophantine problem solved” (PDF), Bulletin of the American Mathematical Society, 41 (1): 43–57, doi:10.1090/S0273-0979-03-00993-5, MR 2015449
Mihăilescu, Preda (2004), “Primary Cyclotomic Units and a Proof of Catalan's Conjecture”, J. Reine Angew. Math., 2004 (572): 167–195, doi:10.1515/crll.2004.048, MR 2076124
Mihăilescu, Preda (2005), “Reflection, Bernoulli numbers and the proof of Catalan's conjecture” (PDF), European Congress of Mathematics, Zurich: Eur. Math. Soc.: 325–340, MR 2185753, Bản gốc (PDF) lưu trữ ngày 26 tháng 6 năm 2022, truy cập ngày 20 tháng 6 năm 2022
Ribenboim, Paulo (1994), Catalan's Conjecture, Boston, MA: Academic Press, Inc., ISBN 0-12-587170-8, MR 1259738 Predates Mihăilescu's proof.
Tijdeman, Robert (1976), “On the equation of Catalan” (PDF), Acta Arith., 29 (2): 197–209, doi:10.4064/aa-29-2-197-209, MR 0404137

Liên kết ngoài

Weisstein, Eric W., "Catalan's conjecture" từ MathWorld.
Ivars Peterson's MathTrek
On difference of perfect powers
Jeanine Daems: A Cyclotomic Proof of Catalan's Conjecture

[1] Weisstein, Eric W., Catalan's conjecture, MathWorld

[2] Mihăilescu 2004

[3] Victor-Amédée Lebesgue (1850), “Sur l'impossibilité, en nombres entiers, de l'équation x^m=y²+1”, Nouvelles annales de mathématiques, 1^re série, 9: 178–181

[4] Ribenboim, Paulo (1979), 13 Lectures on Fermat's Last Theorem, Springer-Verlag, tr. 236, ISBN 0-387-90432-8, Zbl 0456.10006

[5] Bilu, Yuri (2004), “Catalan's conjecture”, Séminaire Bourbaki vol. 2003/04 Exposés 909-923, Astérisque, 294, tr. 1–26

[6] Mihăilescu 2005

[rnt-7] Narkiewicz, Wladyslaw (2011), Rational Number Theory in the 20th Century: From PNT to FLT, Springer Monographs in Mathematics, Springer-Verlag, tr. 253–254, ISBN 978-0-857-29531-6

[8] Schmidt, Wolfgang M. (1996), Diophantine approximations and Diophantine equations, Lecture Notes in Mathematics, 1467 (ấn bản thứ 2), Springer-Verlag, tr. 207, ISBN 3-540-54058-X, Zbl 0754.11020

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]